不完备信息系统的Rough集扩充方法(1)

    关键词  不完备信息系统； Rough集；模型拓展

    由Pawlak等人在20世纪80年代提出的经典Rough集理论在知识获取方面取得了很大的成功。但遗憾的是在传统的Rough集理论中，存在一个明显的假设，即所有可以获得的个体对象由这个属性集合给出完全描述。换句话说，用 表示个体对象集合， 表示属性集合，则对于任意 ， ，属性值 总是存在的，即 。这个假设虽然是合理的，但是与很多现实情况有差异。在这些情况下，由于不可能得到一部分属性值，或者有些对象的某个属性值是肯定不可能得到的，这导致关于对象集合U 的描述是不完全的。因此，就导致了不完备信息系统的出现。然而，对不完备信息的理解存在两种语义解释，遗漏（missing）语意和缺席（absent）语意。遗漏语意下，认为遗漏值（或空值）将来是可以得到的并且可以与任意值相比较；而缺席语意下，认为缺席值（或空值）是无法再得到的，不能与任意值相比较。

    为了使Rough集理论能适应于对不完备信息系统的处理，目前主要有两类方法。一是间接处理方法，这种方法有两种情形：第一种情形是删去带有缺失值的实例，但是将会丢失数据中很多有用的知识；第二种情形是通过一定的方法（通常是基于概率统计）把不完备信息系统转化为完备信息系统，即数据补齐，但是，补齐处理只是将未知值补以我们的主观估计值，或多或少改变了原始的信息系统，因此不一定完全符合客观事实。二是直接处理方法：其特点是对经典Rough集理论中相关概念在不完备信息系统下进行适当扩充。本文就直接处理方法目前的情况进行阐述与总结，有利于对不完备信息系统的Rough集扩充方法的认识，对在不完备信息系统下拓展Rough集有所帮助和参考。

    基于遗漏（missing）语意，Kryszkiewicz给出了容差关系的定义。给定信息系统 ，其中 是条件属性集合，d 是决策属性，对于具有空值的属性子集 ，记空值为“*”， ，容差关系 T 定义如下：

    定义2.1.1  容差关系 T 定义为：

    显然，T 是自反且对称的，但不传递。进一步，用符号 表示在属性集合 B 上满足关系 T(x,y) 的个体对象y的集合，即对象x 的容差类。根据定义2.1.1得到上、下近似的定义：

    定义2.1.2　不完备信息表 中对象集合X 关于属性集 的上近似 和下近似 分别定义为：

    ， 。

    容差关系是目前面向不完备信息系统中应用最为广泛的一种Rough集扩充模型，它将缺失值的可能范围最大化，从而保证了后续算法可以挖掘到尽可能多的知识。但这种最大化的前提假设也同时增加了后续算法的难度和复杂度，在数据量较大，缺失值较多的情况下难以应用。

    Stefanowski和Tsoukias认为空值不是不确定的，而是当前不存在的，从而不允许比较空值，即缺席（absent）语意。基于这种观点他们给出非对称相似关系如下：

    定义2.2.1　给定信息系统 ，其中 是条件属性集合，d 是决策属性，对于具有空值的属性子集 ，记空值为“?”， ，非对称相似关系S 的定义为:

    显然，S 是自反且传递的，但不对称。实际上，非对称相似关系可以认为是包含关系的一个代表，因为只要 x  的描述包含在 y 的描述中，就认为 x 与 y 相似。对于任意对象 ，可以定义两个非对称相似集合：

    定义2.2.2  非对称相似于 的x 对象集合 J(x) ，x 与之非对称相似的对象集合 的定义为：，。

 

     一般地， 。因此，

    定义2.2.3　不完备信息表 中对象集合 X 关于属性集 的上近似 和下近似 分别定义为： ， 。

    这种关系乍看起来似乎有点奇怪，但我们总是认为孩子象父母，复制品象真品，反过来人们难于接受。如果系统环境如此，非对称相似关系是合理的。

    为了进一步刻画容差关系和非对称相似关系中两个实例之间的“相似”程度Stefanowski和Tsoukias在研究了容差关系和非对称相似关系后提出了量化容差关系。