图像分割中最佳阈值集的选择与评测(1)

    图像分割就是将图像分成各具特性的区域， 并提取感兴趣目标的技术和过程，是图像分析的关键步骤。它在图像增强、模式识别、目标跟踪等领域中有广泛的应用。至今已提出了多种图像分割方法，可粗略地分为基于直方图的分割方法(阈值化分割，如OTSU、最大熵等)^[1][2][3]、基于边缘的分割方法^[4][5]、基于区域的分割方法^[6][7]三类。

    基于一维直方图的方法速度比较快，对直方图分布成双峰或者分布比较均匀时效果比较好，但对直方图分布比较窄或分布不呈双峰特的图像，分割效果往往不理想。基于二维直方图的方法，即以像素的灰度值和邻域内部的灰度均值的二维分布所构成的直方图来进行分割，虽然可以有效提高分割效果，一定程度上可以消除噪声的影响，但计算量相当大，难以应用到实时系统。

    基于边缘的方法基本思想是先检测图像中边缘点，再按一定策略连接成轮廓，从而构成分割区域。其难点在于边缘检测时抗噪性和检测精度的矛盾，若提高检测精度，则噪声产生的伪边缘会导致不合理的轮廓，若提高抗噪性，则会产生轮廓漏检和位置偏差。

    基于区域的方法关键是要找到合适的种子和选择合适的生长准则，缺点是计算量比较大，并容易造成过度分割，即将图象分割成过多的区域。

    本文提出了一种基于模板比配的阈值化分割算法，该方法取分割图像与原图像相似度最大时的阈值作为最佳阈值，并提出了基于直方图的算法。实验结果表明，该方法有较好的适应性，分割效果是比较理想的。

    定义1：设图像为f(x,y) ，简记为f 。存在变换T对 进行分割f(x,y) ，变量集合 ，作为分割阈值，分割后的图像为g(x,y)，简记为 g。常数集合作为g的灰度值。变换T定义如下：

      (1)

    称分割后的图像为n值图像，进行变换T的过程叫做n阈值分割或者多阈值分割。

    定义2 ：若存在阈值集合对图像进行n值分割，使得分割后的图像与原图像的相似度最大，即使模扳匹配公式值最大

       (2)

    把阈值集合 称为最佳阈值，用最佳阈值对图像分割的过程称为最佳分割。其中 为原图像的平均值， 为分割后图像的平均值。

    找出最佳分割阈值简单的方法是穷匹配法，首先选定阈值对原图像进行分割，然后进行模板匹配，使阈值遍历所有灰度，以相似度最大的作为最佳分值。但这样时间开销很大，因为首先要对原图像进行多值分割，每选定阈值后要进行二维匹配，且匹配复杂度与图像大小有关。实时性是很不理想的。

    因为，根据Riemann积分和Lebesgue积分的关系，从分割图像灰度值域着手。作

         (3)

    其中m,M是的上界与下界， 为分割阈值，并作点集

       (4)

  m(E)记作集合E的测度。相似度计算公式可以表示为：

    (5)

    由 不变，可知相似度的变化只与剩余部分有关。

令

         (6)

    为使问题进一步简化，令图像的总测度为1。直方图反映了图像各灰度比例，令灰度级k 的像素点所占比例为 h_k，则 ，令

                    (7)

      (8)

    由上式可知， P的值与原图像直方图相关，当n比较小时，搜索最大值，相当于几次一维运算，复杂度只与分割阈值个数和灰度范围有关，避免了二维模板匹配过程，较大程度上降低了计算复杂度。

    下面提出基于模板匹配图像分割的两个结论。定理1说明只有二值分割时，最佳阈值与分割后图像的灰度值无关。定理2给出了直方图比较均衡时有效的快速分割方法。

    定理1：最佳二值分割时，最佳阈值的选取与分割后图像所取灰度值无关。

    证明：二值分割图像时只取一个阈值，令其为 ， 为分割后图像所取灰度值。则

                   （9）

    可以化为：

                   （10）