摘要：本文应用滑移型裂纹模型并基于裂纹扩展过程中的能量平衡原理，建立了花岗岩材料的动态本构模型。分析结果表明，模型结果与实验结果符合得比较好。本文还进一步分析裂纹扩展引起的非线性应变特征。结果表明，在裂纹的扩展过程中，由于裂纹扩展引起的非线性应变对侧向应变的影响比轴向应变大，初始裂纹的滑移在花岗岩材料的非线性应变的贡献不能忽略。
关键词：裂纹扩展 能量平衡 花岗岩 动态本构
study on constitutive relation of rock under dynamic compression based on energy balance during crack growth*
abstract: based on the sliding crack model and energy balance during crack growth, the dynamic constitutive relation of rock under different strain rates is established. it is shown that the simulation results agree with the experimental results. the properties of the no-elastic strain caused by the growth to the total strain are also studied. it is indicated that the no-elastic axial strain caused by the crack growth is larger than that of lateral strain. in addition, the contribution of the no-elastic strain caused by the initial crack’s sliding cannot be ignored.
keywords: crack growth energy balance granite dynamic constitutive relation
一、前言
岩石的动态本构模型是分析岩体结构在动载荷作用下响应的基本参数。从20世纪80年代开始，国内外研究人员在此方面进行了大量的研究工作。例如，于亚伦[1]用修正的过应力模型来描述岩石材料在加载速率为103s-1的应力应变关系。杨春和和曾祥国[2])用bodner-partam粘塑性模型描述了岩石材料在动三轴压缩应力作用下的响应。类似地，还有liu & katsabanis[3]等人的工作。
随着扫描电镜(sem)和声发射等设备在岩石力学实验中的广泛应用，岩石材料在破坏过程中裂纹的扩展、分叉以及聚合等细观力学行为得到了较深入的研究。这些研究表明，岩石材料内部存在的微裂纹的扩展和聚合是岩石材料在外载荷作用下宏观力学特性的根本原因。基于这些研究结果，多种裂纹模型应用于研究岩石类脆性材料在承受压应力作用下的变形特性。在这些裂纹模型中，滑移型裂纹模型得到了最广泛的应用。nemat-nasser & obata[4]根据滑移型裂纹扩展的集合特征研究了脆性材料的非线性应变。在他们的研究中，总的非线性应变由三个部分形成：a)沿初始裂纹的滑动；b)垂直于裂纹方向的剪胀；c)拉伸裂纹的扩展。基于catigiano的能量平衡理论，kemeny[5]提出一种简单的方法计算含滑移型裂纹的岩石材料在压应力作用下的变形特征。在他的工作中，岩石的非线性应变主要由拉伸裂纹扩展引起，忽略了由于初始裂纹滑移消耗引起的非线性应变。basista&gross[6]根据内变量理论研究了含滑移型裂纹的非线性应变。在他们的分析中，非线性应变的计算分成两个阶段。在第一阶段，没有拉伸裂纹产生，能量的耗散由初始裂纹的滑移形成。在第二阶段，拉伸裂纹形成，并沿着最大主应力的方向扩展。在这一阶段，能量的耗散主要由拉伸裂纹的扩展形成。ravichandran& subhash[7]也根据能量平衡理论研究了含滑移型裂纹的非线性应变，在他们的研究中，考虑了由初始裂纹滑移引起的能量耗散以及造成的非线性应变。
本文基于ravichandran& subhash[7]提出的裂纹扩展能量平衡原理，分析岩石在动态单轴压应力作用下(应变速率范围：10-4-100s-1)的本构模型，并与实验结果进行比较。本文还进一步分析裂纹扩展引起的非线性应变对总应变的贡献等。
二、滑移型裂纹组模型
基于horii&namat-nasser[9]和 ashby和hallam[10]的研究，本文采用图1(a)所示的简化滑移型裂纹模型。同时本文应用图2(b)所示的一组滑移型裂纹来模拟岩石材料在单轴向压应力作用下的劈裂破坏模式以考虑裂纹之间的相互作用。图中,初始裂纹长度为2c, 拉伸裂纹长度为2l，相邻裂纹间距为2w, 初始裂纹面与轴向应力之间夹角为q 。根据文[5-11]的工作，图1(b)简化成图1(c)所示的裂纹构形。图1(c)中，一组拉伸裂纹承受集中力f以及远场压应力作用。力f反应作用在初始裂纹面上的剪切力对拉伸裂纹的作用，在忽略初始裂纹面上的粘聚力时可以写成如下的形式：
(1)
式中，m 为裂纹面间的摩擦系数。
根据叠加原理，图2(c)所示的一组裂纹的应力强度因子表达式为：
(2)
式中，
，是为了保证式(2)在拉伸裂纹很小时依然适用[6]。
根据文[11]的工作，在动载荷作用下，图2所示的裂纹组裂纹扩展准则为：
(3)
式中，
为材料的瑞利波波速，n为裂纹扩展速率，
为岩石材料的动态断裂韧度。
三、岩石的动态本构模型
考虑图2所示的二维情况，岩石单元受轴向应力
和侧向应力
作用。在这种情况下应力矢量
和应变矢量
可以表述成2´1矩阵:
(4)
总的应变矢量可以分成两部分
(5)
式中
为由初始裂纹滑移以及拉伸裂纹扩展引起的非线性应变，
弹性应变矢量，为不含裂纹的单元体在载荷作用下的应变，它与应力的关系可以表述成：
(6)
式中，e和
为材料的弹性模量和泊松比；k为常数，在平面应变情况下，
，平面应力情况下，
。
根据裂纹扩展过程中的能量平衡原理，在裂纹扩展过程中，外力做功主要用于克服初始裂纹滑移以及拉伸裂纹的扩展，如下式：
(7)
式中，为由于拉伸裂纹扩展而耗散的能量，wf为由于初始裂纹滑移而耗散的能量，w1为外载荷做的功。
假定由于裂纹发展形成的非线性应变与和
成线性关系[7]，有：
(8)
式中
为常量，根据对称性，有。在这种情况下，外载荷所作的功w1为：
=
(9)
式中，4bh为含裂纹单元的面积(图2)。
由初始裂纹滑移消耗的能量为：
(10)
式中，
，
为外载荷作用下，初始裂纹的滑移位移。
nemat-nasser& obata [4]提出由于初始裂纹滑移产生的i型应力强度因子为：
(11)
式中，
= 0.083c，是为了保证式(15)在l很小时的适用性。由于由初始裂纹滑移形成的i型应力强度因子应该等于由式(2)得到的应力强度因子[7]，所以，由外载荷作用形成的初始裂纹滑动位移为：
(12)
这样，由初始裂纹滑移而耗散的能量为：
(13)
拉伸裂纹扩展所消耗的能量为：
(14)
在上式的第三项中，为了积分得方便，用l代替l+l*，则有：
(15)
根据式(9-10)、(13-15)，有：
所以，有：
(16)
式中：
这样，由裂纹扩展引起的非线性应变为：
(17)
在不考虑裂纹相互作用对裂纹扩展造成的非线性应变影响时，含n条裂纹的岩石材料单元的总的非线性应变为
。
由式(8)和(17)有：
(18)
在单轴向应力情况下，有：
(19)
体应变
为：
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